Een dikwijls voorgestelde strategie in de populaire beleggingsliteratuur  is het schrijven van een put en  een call

1. Inleiding

Een dikwijls voorgestelde strategie in de populaire beleggingsliteratuur  is het schrijven van een put en een call. Men noemt dit wel  het schrijven van een “straddle” (gelijke uitoefenprijs van put en call, meestal “at-the-money”) of het schrijven van een “strangle”  (put en call hebben een verschillende uitoefenprijs, meestal “out-of-the-money”).

Omdat deze strategie zowel bij een (licht) stijgende als bij een (licht) dalende markt toegepast kan worden, noemt men het ook wel een “neutrale”strategie.

Diverse auteurs beschrijven hoe naar hun mening een verantwoorde strategie vorm gegeven kan worden (zie o.a. , David Caplan, Lawrence McMillan en Jon Schiller).

In het algemeen wordt uitgegaan van een index als onderliggende waarde (bijv S&P500, AEX, etc.). Opties op individuele aandelen zijn per definitie gevoeliger voor  excessen (faillissement, overnames etc) dan  indexopties en zijn daarmee in het  algemeen riskanter.

Ook wordt steeds de kortst lopende serie geschreven om optimaal  tijdswaarde te incasseren. Immers hoe dichter bij expiratie, des te sneller loopt de tijdswaarde uit de positie. Bovendien geldt ook: hoe korter de looptijd,  des te geringer is het risico.

Hoe kun je nu onderzoeken onder welke (objectiveerbare) omstandigheden of voorwaarden  met een dergelijke strategie consistent geld te verdienen is? En welke vragen wil je dan beantwoord zien?

In dit onderzoek, zoeken we een  antwoord op de volgende vragen:

-         Zou je geld verdiend hebben door op elke expiratie vrijdag geschreven te hebben  of is de relatieve hoogte van de optiepremie van belang?                 

-         Moet er “in-” of “out-of-the-money”geschreven worden? Gedekt of ongedekt?

-         Schrijven we altijd  puts en calls?  Of beperken we ons in sommige maanden tot puts en in andere maanden tot calls. (“Sell in May but remember come back in September”)?           

-         Is het verstandig om  bij tussentijdse stijgingen of dalingen van de index de geschreven positie te sluiten?

Om het historisch effect van verschillende “antwoorden” op bovenstaande vragen te meten, maken we een model in Excel. Om het inzicht te vergroten zullen we daarbij een aantal vereenvoudigende veronderstellingen maken

U kunt het model “downloaden” van www.beleggen.hccnet.nl . Klik daartoe op de aanwijsknop “Download Software” daar treft u in de tabel “Aex Straddles en Strangles”” aan.   Rechts klik vervolgens in de kolom “Download” op ”hier” en een scherm vraagt in welke map u het Excel werkblad wilt importeren. Geef de map aan en “download”het werkblad. Vervolgens kunt u zelf Excel opstarten en het geïmporteerde werkblad openen.  

2. Opzet Testmodel

De gegevens die we voor de beantwoording van bovenstaande vragen moeten verzamelen  en die derhalve deel van het model zullen vormen, betreffen:

1. De slotkoers van de AEX op elke 3^e vrijdag van de maand

2. De korte risico-vrije rente op elke 3^e vrijdag van de maand

3. De berekende impliciete volatiliteit van de “at-the-money”  optiepremies op elke 3^e vrijdag van de maand van de kortst lopende serie (= 1 maand)

4. De hoogste en de laagste koers die de index bereikte na de datum waarop posities werden ingenomen tot de volgende expiratie datum.

De gegevens ad 1, 2 en 4 werden verkregen van een dataleverancier. De “at-the-money” optiepremies ad 3. (looptijd ca 1 maand) werden overgenomen uit het  Financieel Dagblad en met behulp van de  Black-Scholes Calculator ( een  Excel werkblad dat u eveneens kunt downloaden van www.beleggen.hccnet.nl onder de aanwijsknop “Download Software”) werd de impliciete volatiliteit daarvan berekend. De Black-Scholes formule zelf wordt nader toegelicht op de website www.beleggen.hccnet.nl onder de aanwijsknop “Modellen en Strategieën” (zie daar “Black-Scholes Model”).

In een Excel werkblad werden onder de tab “data”  de gegevens in kolom vorm verzameld vanaf  de derde vrijdag van  januari 1987 zoals deels hieronder weergegeven

(www.beleggen.hccnet.nl : ->Download Software->  Aex Straddles en Strangles -> Tab: data)   

Onder Datum wordt steeds de datum van de derde vrijdag in de maand vermeld (of indien dit een feestdag is de daaraan voorafgaande laatste werkdag).

Onder Slotkoers wordt de slotprijs van de AEX index verstaan. Hoewel deze niet gelijk is aan de prijs waarop opties worden afgerekend (dit vindt plaats op een tussenkoers van  ca 1600 uur) lijkt dit toch een werkbaar uitgangspunt. Als Rente werd uitgegaan van de 3-maands interbank rente (de premie is niet zeer gevoelig voor kleine variaties in de rente). Onder Vol  wordt de berekende gemiddelde impliciete volatiliteit van at-the-money call en put opties met een looptijd van een maand gegeven. Onder Max wordt de hoogste koers weergegeven die de index bereikte gedurende de looptijd van de optie. Onder Min wordt de laagste koers weergegeven die de index bereikte gedurende de looptijd van de optie.

2.2 Vereenvoudigende veronderstellingen

Uitoefenprijzen:een eerste vereenvoudiging betreft de uitoefenprijzen. In ons model zullen we gebruik maken van “fictieve” uitoefenprijzen. Dit lijkt een ernstige beperking doch waar het ons in eerste instantie om gaat is inzicht te verwerven in de werking van een aantal factoren.

We veronderstellen dat er op elke derde vrijdag  een optieserie is met een uitoefenprijs die precies gelijk is aan de slotkoers van de AEX  op die dag.  Is de slotkoers van de AEX op een derde vrijdag van de maand bijvoorbeeld  456.50, dan nemen we aan dat er een call en een put optie is met als uitoefenprijs 456.50.   Bovendien nemen we ook aan dat er series zijn met uitoefenprijzen die hier  1, 2, 3 en  4 % boven en onder liggen.

De premies van de opties met die “fictieve” uitoefenprijzen zullen we berekenen middels de Black-Scholes formule en daarbij gebruik maken van de impliciete volatiliteit zoals onder 3. afgeleid. Aanvankelijk gaan we uit van dezelfde impliciete volatiliteit voor in-, at- en out-of-the-money opties. . In werkelijkheid is de impliciete volatiliteit meestal hoger naarmate de optie meer “out-of-the-money” is (de premies zijn dan in werkelijkheid hoger dan berekend).  In een later stadium kan het effect van deze “volatility smile” onderzocht worden. Een illustratie van het resultaat treft u onderstaand aan. U treft de tabel aan onder de tab “opties” (kolom A tm I). 

(www.beleggen.hccnet.nl : ->Download Software->  Aex Straddles en Strangles -> Tab: opties)   

Procentuele premies:een tweede vereenvoudiging betreft de premies zelf. Daar de index over de waargenomen periode van 1987 tot heden vervijfvoudigd is, zijn absolute premiebedragen in de tijd niet vergelijkbaar.  Drukken we de optiepremie uit als een percentage van de index  op het moment van schrijven, dan hebben we vergelijkbare grootheden. Immers drie punten bij een index van 100 zijn vergelijkbaar met 15 punten bij een index van 500. U treft deze procentuele waarden aan in bovenstaande tabel in kolom J tm M (deels niet weergegeven in bovenstaande tabel) . 

Ook de prijsverandering in de index van de derde vrijdag tot de daarop volgende derde vrijdag wordt als percentage uitgedrukt van de index op het moment dat de positie wordt ingenomen. Dit geldt eveneens voor de Max en Min waarden die de index in de loop van die periode bereikte. 

2.3 Berekening van de opbrengsten van opties schrijven.

Onder de tab “opties” van het Excel werkblad berekenden we de premies van twee call opties en twee put opties. We deden dit om gedekt puts en calls te kunnen schrijven (we schrijven bijv een at-the-money put en kopen een out-of-the-money put ter dekking tegen een aanzienlijke prijsdaling). Het “niveau” van de uitoefenprijzen van de opties kunnen we aanpassen  door wijziging van de percentages (tab: “opties”, cellen F2 tm I2).

We hebben nu alle gegevens beschikbaar om de opbrengst van het schrijven te berekenen voor zowel gedekte als ongedekte posities. We gaan er daarbij vanuit dat posities  niet vroegtijdig geliquideerd worden maar tot aan de expiratiedatum worden aangehouden: de opties lopen óf waardeloos af, óf er dient te worden afgerekend.

Lopen de opties waardeloos af, dan is de opbrengst gelijk aan de (netto) ontvangen premie.

Ligt  de slotkoers bij expiratie hoger dan de uitoefenprijs, dan heeft de geschreven calloptie “waarde”, die men dan verschuldigd is. Daar staat tegenover dat men de ontvangen premie als opbrengst  mag beschouwen. Voor de geschreven putoptie geldt dat als de slotkoers bij expiratie lager is dan de uitoefenprijs, de putoptie “waarde” heeft, die men verschuldigd is.

Een voorbeeld kan dit verduidelijken. Op 20-03-87 is de slotkoers van de AEX index 109.49. We schrijven een at-the-money calloptie (uitoefenprijs: 109.49) en ontvangen daar euro 2.49 voor, ofwel 2.28% van de slotkoers. Op 16-04-87 is de slotkoers 112.98. Deze is derhalve gestegen met 3.19%. De geschreven call loopt niet waardeloos af  maar is 3.19% van de oorspronkelijke slotkoers waard. De ontvangen premie was 2.28%, de opbrengst  bedraagt derhalve (2.28% –3.19%) = - 0.91% (een verlies)  van de oorspronkelijke slotkoers (zie tab “opbrengst” H7).

Voor een geschreven “spread” geldt een soortgelijke berekening. Eindigt bij een call “spread” de slotkoers beneden de uitoefenprijs van de geschreven call, dan is de opbrengst gelijk aan de netto ontvangen premie (ontvangen premie minus de betaalde premie).

Eindigt de slotkoers boven de uitoefenprijs van de gekochte call, dan bedraagt de opbrengst:

niveau uitoefenprijs geschreven call - niveau uitoefenprijs gekochte call + netto ontvangen premie.

Eindigt de slotkoers tussen de twee uitoefenprijzen in dan bedraagt de opbrengst: niveau slotkoers - niveau  uitoefenprijs gekochte call + netto ontvangen premie.

Een voorbeeld van een call spread kan dit verduidelijken: we schrijven op 20-3-87 weer een at-the-money calloptie (uitoefenprijs: 109.49) en ontvangen daar euro 2.49 voor, ofwel 2.28% van de slotkoers.Daarnaast kopen we een out-of-the-money calloptie (uitoefenprijs: 114.8 dat is 104% van 109.49) tegen een prijs van 0.79%.  Op 16-04-87 is de slotkoers 112.98. Deze is derhalve gestegen met 3.19%. De geschreven ATM call loopt niet waardeloos af  maar is 3.19% van de oorspronkelijke slotkoers waard. De ontvangen premie was 2.28%, de opbrengst  bedraagt derhalve (2.28% –3.19%) = - 0.91% (een verlies)  van de oorspronkelijke slotkoers.De gekochte OTM call optie loopt waardeloos af, de opbrengst bedraagt derhalve een verlies van 0.79 % van de oorspronkelijke slotkoers. De totale opbrengst van de call spread bedraagt daarmee (-0.91% - 0.79%=)-1.70% (zie tab “opbrengst” H7).

Voor een put “spread” geldt een soortgelijke redenering.

De opbrengsten worden weergegeven onder tab “opbrengst” waarvan u hieronder een deel ziet:

 www.beleggen.hccnet.nl : ->Download Software->  Aex Straddles en Strangles -> Tab: opbrengst).

3. Analyse van de opbrengsten

3.1.    Elke 3^e vrijdag schrijven?

Stel dat we nu sedert 16 januari 1987 elke daarop volgende expiratiedag 4 strategieën gevolgd zouden hebben:

        -  schrijf  ATM calls

        -  schrijf  call spread

        -  schrijf ATM put

        -  schrijf put spread 

Wat zou het resultaat geweest zijn? Per strategie weten we welk percentage  (uitgedrukt in de index van dat moment) deze per periode opleverde. Om de strategieën onderling te vergelijken  kunnen we de gemiddelde opbrengst per periode als maatstaf nemen. We berekenen deze opbrengsten  door  de waarden in kolommen H tm K onder tab “opbrengst” op te tellen en te delen door het aantal perioden. Ook de spreiding van de percentages per periode kunnen we daarbij in aanmerking nemen.

Het resultaat tot en met 21-december 2001 ziet u hieronder:

                                                       De vier toegepaste strategieën:      

Alléén het schrijven van puts leverde iets op. Overigens is hier nog geen rekening gehouden met commissie-kosten.Wat is daarvan de orde van grootte? Als voor één AEX index optie bij een niveau van 600 euro,  ca 12 euro wordt berekend dan is dat ongeveer 0.02% (één optie is 100 x index waarde = 60 000 euro) van de onderliggende waarde.

Dat puts schrijven wat opleverde en calls niet, is overigens niet zo verwonderlijk als we terug kijken naar de enorme opwaartse trend van de afgelopen jaren. 

3.2 Niet elke 3e vrijdag schrijven?

Maar moet je wel elke 3^e vrijdag schrijven?  Er wordt wel gesuggereerd (Jon Schiller) dat je moet schrijven op een uitoefenprijs  die afhangt van de volatiliteit op het moment van schrijven.

Het schrijven bij hoge volatiliteit betekent een hogere kans op het overschrijden van de uitoefenprijs en levert derhalve hogere premie(opbrengsten).

We kunnen onderzoeken of dit van toepassing is op de AEX. Stel dat we alléén schrijven als de volatiliteit  boven een bepaalde grenswaarde is. De frequentie waarmee we schrijven neemt dan natuurlijk af. In welke mate dat zo is en wat het gevolg is voor de gemiddelde opbrengst per periode waarin geschreven werd, ziet u in onderstaand overzicht (gebaseerd op data tm 15-06-01) :

(www.beleggen.hccnet.nl : ->Download Software->  Aex Straddles en Strangles -> Tab: opbrengst).  

 Zo is bij het ongedekt schrijven van callopties af te lezen dat de gemiddelde opbrengst per periode 1.45% bedraagt indien alléén posities worden ingenomen bij een volatiliteit hoger dan 0.25 (of 25%). De frequentie waarmee geschreven wordt loopt dan wel terug naar 29 maal (van de 174 waargenomen perioden), ofwel  17% van de perioden. Maar ook het schrijven van een put en een call bij een volatiliteit  groter dan 20% is niet onaardig. De frequentie is aanzienlijk hoger ( 68 maal of ca 40% van de perioden). Het leverde  (0.58%+0.97%=) 1.55% per periode op van de onderliggende waarde. Daar moeten de  commissie kosten nog af. Is dat de moeite waard?  Hoe kun je het rendement beoordelen?

Eén manier is om te veronderstellen dat je steeds “herinvesteert”. Een voorbeeld: in periode één werd 2% verdiend, in periode twee werd 3% verloren en in periode vier werd 5% verdiend. Het totale rendement bedraagt dan 102% x 97% x 105%= 103.88%. De volgorde waarin de resultaten werden behaald is niet van belang. De eind uitkomst is daar niet gevoelig voor.

Maak je een dergelijke berekening voor de 68 perioden dat de volatiliteit groter was dan 20%,  dan bedraagt de opbrengst van ongedekt ATM calls en ATM puts schrijven  ca.  257%  van de oorspronkelijke index waarde. Zou je in dezelfde 68 perioden in de AEX geïnvesteerd hebben, dan zou de opbrengst daarvan ca 145% zijn geweest.

Schrijven van opties leverde meer op dan investeren in de index, althans in die 68 perioden (zie tab “opbrengst”  kolommen N en O). Was het risico dan groter bij het schrijven van opties? Gemeten naar de  standaarddeviatie van de periode opbrengsten is dat niet het geval, resp 5.37% versus 6.75% voor de index (zie tab “opbrengst” kolommen P en Q).

Een wat “bottere”manier om naar het rendement te kijken is om te stellen dat, uitgaande van een aan te houden marge van de index van ca 33%,  bij een hefboom factor 3 het  rendement ca 4.5% (3 x 1.5%) bedraagt per periode waarin geschreven wordt (of  54% op jaarbasis! ).

Hoe kan het effect van de volatiliteitsgrens zo groot zijn? Als de volatiliteit hoog is, is de optiepremie die ontvangen wordt  ook hoog. Maar kennelijk valt de werkelijke prijsverandering in de index na een “maand” best wel mee ondanks de aanvankelijke hoge volatiliteit. We kunnen ons inzicht hierin vergroten door enkele relevante correlaties nader te bekijken.

Kijken we eerst naar de correlatie tussen volatiliteit en premie niveau van bijv at-the-money callopties. We berekenen dan de correlatie in tab “opties” van de volatiliteit (D5:D178) met de ATMCalls (J5:J178). De uitkomst daarvan is .98 (zie cel N5). De premie hoogte wordt dus praktisch geheel en al verklaard door  het niveau van de volatiliteit.

De correlatie tussen de volatiliteit (op deze derde vrijdag) en de prijsverandering van de index tot de volgende 3^e vrijdag zal dan ook naar verwachting een stuk lager moeten zijn om onze eerdere bevindingen  te verklaren.

Als we de correlatie tussen volatiliteit en daarop volgende prijsverandering willen bepalen, dan moeten we kijken naar de “absolute” waarde van de procentuele  prijsverandering (alle prijsveranderingen krijgen een plus teken mee). We voegen daartoe kolom M toe aan tab “opbrengst”. Daarin wordt steeds een positieve prijsverandering weergegeven. Bepalen we nu de correlatie  tussen volatiliteit (C5:C178) en “absolute” prijsverandering (M5:M178) dan bedraagt deze 0.11. De Volatiliteit verklaart derhalve slechts 11% van de prijsvariatie in de index van derde vrijdag tot volgende derde vrijdag.

Samengevat betekent een hoge volatiliteit wel een hoog premieniveau, maar blijkt het slechts in beperkte mate "verklarend" te zijn voor de daarop volgende prijsverandering.

Maar het betekent niet dat je geen  “onaangenaam gevoel” krijgt gedurende een periode die inzette met een hoge volatiliteit en waar een geschreven positie werd ingenomen. De correlatie tussen de volatiliteit en de range (de totale afstand tussen Max en Min koerswaarden gedurende de periode) is duidelijk wel aanwezig en bedraagt 0.51 zoals onder tab “opbrengst” in E183 is af te lezen. Dus als de volatiliteit hoog is dan zijn  er gedurende de periode  flinke uitslagen naar boven en naar beneden te verwachten. Dat kan er onheilspellend uitzien en al snel tot mogelijk “verkeerde” beslissingen leiden.  

3.2.    Verdere Analyses

Er zijn nog heel wat aspecten te onderzoeken.  In volgende analyses zal getracht worden een antwoord te vinden op de vragen:

-         Moet er “in-” of “out-of-the-money”geschreven worden? Gedekt of ongedekt?

-         Schrijven we altijd  puts en calls?  Of beperken we ons in sommige maanden tot puts en in andere maanden tot calls. (“Sell in May but remember come back in September”)?           

-         Is het verstandig om  bij tussentijdse stijgingen of dalingen van de index de geschreven positie te sluiten?

Literatuur:

Caplan, David L.(1994). “Opportunities in Options”, Center for Futures Education McMillan, Lawrence G. (1986). Options as a Strategic Investment”, Prentice-Hall Schiller, Jon (1992). “The Insiders Automatic Options Strategy”, Windsor Books