Het Black-Scholes Model

Inleiding. 

De ontwikkeling van een formule voor de correcte bepaling van optiepremies, is één van de belangrijkste  voorwaarden geweest voor het succes van “afgeleide” financiële producten. De formule drukt de optiepremie uit als een functie van “waarneembare” variabelen zoals de koers van de onderliggende waarde, de uitoefenprijs, de looptijd, de “risico vrije” rentevoet en de volatiliteit (of “beweeglijkheid”) van de onderliggende waarde.

Intuïtief is de formule niet direct duidelijk. Daarom lichten we hier de redenering, die aan de formule ten grondslag ligt, in vereenvoudigde vorm toe voordat we de formule nader bekijken.

De gedachte achter de formule.

Veronderstel dat de koers van een optiefonds 100 is en dat deze met zekerheid over een jaar óf  95 óf  100 zal zijn. Er is bovendien een calloptie beschikbaar met uitoefenprijs 100 en een looptijd van één jaar. Eén optie (=100 aandelen) kost 800. De risicovrije rentevoet  bedraagt 5% per jaar.

Een belegger past de volgende strategie toe. Hij schrijft 3 callopties, waarvoor hij  3 x 800 = 2400 ontvangt, en koopt 200 aandelen van het fonds voor 100 per stuk. Zijn netto uitgave bedraagt daarmee 20000-2400 = 17600. Veronderstel ook nog dat hij dit bedrag tegen 5% leent zodat zijn netto investering nihil is. Wat is zijn rendement na een jaar?

Als het aandeel op 95 eindigt, dan loopt de optie waardeloos af. De belegger moet 18480 (17600 + 5% rente hierover) terug betalen en heeft aandelen ter waarde van 200 x 95 = 19000. Zijn netto opbrengst bedraagt derhalve 19000-18480 = 520. Als het fonds in waarde daalt maakt de belegger derhalve winst.

Indien het fonds stijgt naar 110 dan dient de belegger 3 x 100 x 10 = 3000 af te dragen voor de geschreven callopties. De aandelen zelf zijn 200 x 110 = 22000 waard. Rekening houdend met de rente kosten is de netto opbrengst voor de belegger 22000 – 3000 – 18480 = 520. Wederom levert de strategie winst op.

Deze transactie is opmerkelijk. Niet alleen omdat in beide gevallen winst wordt gemaakt maar ook omdat de winst zonder enig risico wordt gemaakt met een investering van nihil. Een dergelijke winst (risicoloos en zonder investering) noemt men arbitrage winst. Als arbitrage onbeperkt mogelijk is dan kan een onbeperkte winst worden gemaakt. Immers de belegger neemt een y maal zo grote positie in om een y maal zo grote winst te maken.

Er is maar één prijs voor de optie die deze winstmogelijkheid uitsluit. Die prijs is 635. Als de optieprijs 635 bedraagt dan is er geen arbitrage winst.

In het voorbeeld hierboven was de optie te hoog gewaardeerd (op 800 in plaats van 635). Is de optie te laag gewaardeerd dan levert de tegenovergestelde strategie een risicoloze winst op. Koop 3 callopties, verkoop (“short”) 200 aandelen en zet de ontvangen gelden uit tegen 5%.

De mogelijkheid van arbitrage winst zorgt er dan ook voor dat de prijs neigt naar een bedrag dat arbitrage winst grotendeels uitsluit.

De Black-Scholes formule.

De omstandigheden waaronder de hiervoor geschetste strategie werd uitgevoerd waren weinig realistisch. Een fonds kan na een jaar vele waarden aannemen en niet slechts 2. Ook  kan er voortdurend worden gehandeld en niet slechts eenmaal per jaar.

Toch is het mogelijk om vanuit de “twee prijzen-één periode” aanpak een meer realistische benadering te ontwikkelen waarin bijvoorbeeld uitgegaan wordt van 250 perioden van elk één dag. Ook de restrictie van 2 prijzen kan men laten vervallen. Te bewijzen is dat “in de limiet” (steeds meer perioden van kortere duur en steeds meer prijzen met kleinere intervallen) de Black-Scholes formule de optiepremie weergeeft waarbij arbitrage winst uitgesloten wordt.

De formule luidt:

                   Callpremie = Koers*N(d1) – Uitoefenprijs*exp^(-Rente*Looptijd)*N(d2)

waarbij       d1   =  {ln(Koers/Uitoefenprijs) + (Rente + ½*s^2)*Looptijd}/sÖLooptijd

en               d2   =    d1 - sÖLooptijd

In deze formule is ln de natuurlijke logaritme, exp is de exponentiele functie, ^ is equivalent aan “tot de macht”, s is de standaard deviatie van de koers en N() is de cumulatieve standaard normale verdeling.

De formule maakt gebruik van 5 variabelen. Om het gebruik ervan te illustreren geven we hieronder een voorbeeld:

Looptijd, rente en volatiliteit (standaard deviatie van de koers) worden uitgedrukt op jaarbasis. De optiepremie is nu als volgt te berekenen:

           Callpremie = 68* N(d1) – 60*exp^(-0.06*0.241)* N(d2)

waarbij    d1  = {ln(68/60) + (0.06 + ½* 0.16)*0.241}/0.4*0.491

en            d2  =  0.808-0.196 = 0.612

Gebruik makend van de tabellen van de normale verdeling (of door invulling in de Excel formule: =stand.norm.verd(….)) stellen we vast dat :

N(d1) = N(0.808) = 0.790

N(d2) = N(0.612) = 0.729

De Callpremie is dan:  68*(0.790) – 60* exp^(-0.01446)*(0.729)= 10.60

Wat betekent de formule?

In tegenstelling tot datgene wat wellicht verwacht wordt, is de optiepremie in het geheel niet afhankelijk van een beoordeling of verwachting van de richting van het toekomstig koersverloop van de onderliggende waarde. De formule is derhalve onafhankelijk van verwachtingen  en andere subjectieve elementen.

De formule zelf  ziet er niet direct voor de hand liggend uit. Een voorbeeld van een extreme situatie maakt het wellicht iets begrijpelijker. Veronderstel dat de onderliggende waarde een opbrengst heeft die “zeker”is. Dat betekent dat s (de volatiliteit ) gelijk is aan nul. Als s^2 nul nadert, dan worden zowel d1 als d2 zeer groot. De waarde van de cumulatieve standaard normale verdeling nadert in dat geval 1.

De Black-Scholes formule wordt in die situatie:

         Callpremie = Koers – Uitoefenprijs * exp^(-Rente*Looptijd)

Daarbij is “exp^(-Rente*Looptijd)” de continue intrestvoet. De formule stelt in dat geval dan ook de callpremie gelijk aan het verschil van de koers en de contante waarde van de uitoefenprijs.

Is de opbrengst niet “zeker”, dan kan de callpremie voorgesteld worden als het verschil van een gewogen combinatie van de koers en de contante waarde van de uitoefenprijs. N(d1) en N(d2) dienen daarbij als gewichten. Jammer genoeg is aan die gewichten geen intuïtief duidelijke betekenis toe te kennen.

De Vooronderstellingen van het Black-Scholes Model.

De Black-Scholes formule gaat uit van onderstaande vóóronderstellingen: 

1. Gedurende de looptijd van de optie keert het fonds geen dividend uit.
De meeste bedrijven keren dividend uit zodat deze aanname een belangrijke beperking lijkt. Een gebruikelijke manier om dividend wel in aanmerking te nemen, is de contante waarde van de verwachte dividend uitkering in mindering te brengen op de koers.
 
2. De optie kan alleen op de afloopdatum worden uitgeoefend.
Uitgegaan wordt van “Europese” opties. Kenmerk daarvan is dat zij slechts op de expiratiedatum uitgeoefend kunnen worden. “Amerikaanse”opties kunnen ook gedurende de looptijd uitgeoefend worden (Euronext opties op aandelen volgen het “Amerikaanse”systeem.

 3. Er zijn geen transactiekosten.

Het model houdt geen rekening met bied/laat verschillen noch met commissies. Uitkomsten van het model kunnen hierdoor afwijken van de werkelijkheid.

4. De rentevoet is bekend en constant.

Het Black-Scholes model maakt gebruik van de risico vrije rentevoet. In werkelijkheid bestaat deze niet. Men past vaak de rente toe van (kort) overheidspapier. Het model is niet zeer gevoelig voor kleine fluctuaties in de rentevoet.

 5.  Opbrengsten zijn lognormaal verdeeld.
De opbrengsten van onderliggende waarden worden geacht lognormaal verdeeld te zijn. In werkelijkheid blijken zeer hoge en zeer lage opbrengsten van onderliggende waarden een grotere kans van voorkomen  te hebben dan een lognormale verdeling aangeeft.

Ondanks de beperking van deze vooronderstellingen, is het Black-Scholes model (met zijn varianten)  ook heden  verreweg het meest toegepaste model om optiepremies te berekenen.

De IG Excel heeft dit model al voor u in een bestand verwerkt